operaciones con limites de sucesiones

Operaciones con límites
Teorema
Límite de la suma

El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos.

H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c
T) limx->af(x) + g(x) = b + c
Demostración:

Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.

Sea ε' = ε/2

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < ε'.

limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε'.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple:

* |f(x) - b| < ε'
* |g(x) - c| < ε'

=> |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε

|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*) |f(x) - b| + |g(x) - c| < ε

(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|

=> (por def. de límite) limx->af(x) + g(x) = b + c
Ejemplo:

limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6
Teorema

H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf
Demostración:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 b - ε < f(x) < b + ε.

limx->ag(x)= +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple:

* f(x) > b - ε
* g(x) > A

=> f(x) + g(x) > A + b - ε = K

=> (por def. de límite infinito) limx->a f(x) + g(x) = +inf.
Teorema

H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf
Demostración:

Análoga a la anterior.
Teorema

H) limx->af(x) = +inf, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf
Demostración:

Sea A > 0.
Consideremos A/2.

Por def. de límite infinito, existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) > A/2

Por def. de límite infinito, existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) + g(x) > A

=> (por def. de límite infinito) limx->af(x) + g(x) = +inf.
Teorema

H) limx->af(x) = -inf, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf
Demostración:

Análoga a la anterior.

Cuando limx->af(x) = -inf y limx->ag(x) = +inf, el limx->af(x) + g(x) no puede determinarse, se dice que es INDETERMINADO de l