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 teoría de ecuaciones

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richard



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MensajeTema: teoría de ecuaciones   Lun Mayo 05, 2008 2:18 am

Funciones Polinomiales
El objetivo de este Tema es que el alumno aprenda a trabajar los Polinomios y obtener sus Ceros Racionales, Irracionales y Complejos, así como aprender a Factorizar cualquier Polinomio expresándolo como el Producto de Factores Lineales y Cuadráticos.
Se considerará una Función Polinomial Entera de grado que tiene la forma:

en la cual los Coeficientes Reales son Constantes, en donde es el Coeficiente Principal y es el Coeficiente del término Independiente de x.
Los términos de la Función están formados en orden descendiente de las Potencias de y sé estará analizando para , ya que el Cero del Polinomio es la Solución de la Ecuación Entera.
Existen Formulas para encontrar las Soluciones de Ecuaciones Polinomiales de Grado igual a 3 e igual a 4 pero su solución es muy laboriosa de obtener y no es muy practica, además en tratados superiores de Álgebra también sé a demostrado que las Ecuaciones de Grado igual o mayor que 5 no tienen solución Algebraica por este motivo se propondrá otro Método para determinarlas.

Teoremas del Residuo y del Factor
Teorema del Residuo
Una forma muy útil para determinar los Ceros de un Polinomio es el Teorema del Residuo, el cual vamos a introducir a continuación.
Si efectuamos la División Algebraica de un Polinomio

entre donde es un número Independiente de nos quedaría:
3x2 + 2x + 1
x-2 3x3 – 4x2 – 3x – 4
-3x3 + 6x2
2x2 – 3x
-2x2 + 4x
x – 4
-x + 2
-2
en donde el Cociente es y el Residuo es
el Polinomio, entonces, se puede expresar como:

A continuación, si calculamos en el ejemplo anterior, (si recordamos se obtiene sustituyendo 2 por en la Función)

Podemos observar que el valor de es igual al valor del Residuo que se obtuvo en la División Algebraica esto podría indicar que se trata de una coincidencia sin embargo si se efectúa el mismo procedimiento con varias divisiones de entre distintos se podría comprobar que en todos los casos que es igual al residuo lo cual constituye el fundamento del Teorema del Residuo.

TEOREMA DEL RESIDUO
Si se Divide el Polinomio entre el Binomio donde es un Número Real, el Residuo es igual a

Teorema del Factor
Tomando como base el Teorema del Residuo, se puede establecer el enunciado de este Teorema que nos será muy útil para determinar los Factores de un Polinomio.
Es importante recordar que al efectuar una División Algebraica, si la División es Exacta el Residuo es igual a Cero.

TEOREMA DEL FACTOR
Si es una raíz de , entonces es un factor de .
Con lo anterior, se puede hacer notar la importancia de conocer el valor del Residuo, ya que si este es igual a Cero, nos va a indicar que se tienen Factores, y que con ellos se pueden determinar los Ceros del Polinomio.
Es de vital importancia que sepas usar la División Sintética.

Gráficas de Funciones Polinomiales
En esta sección sé vera como graficar las Funciones Polinomiales, que son de la forma:

Donde cada es un número Real. Ya se ha estudiado con anterioridad que si tiene grado , entonces la Gráfica de la Función es una línea recta, mientras que si es de grado , entonces la gráfica de es una Parábola. Ahora se consideraran las Gráficas de Polinomios de grado .

Número de Ceros
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
• Toda Ecuación entera , tiene por lo menos una Raíz ( cero ) ya sea Real ó Compleja
• Una Ecuación entera de Grado tiene exactamente Raíces (ceros)
Multiplicidad: Si el factor ocurre veces, se dice que es un Cero de Multiplicidad .
Polinomios Idénticos
Una forma en la que dos Polinomios y puedan tener los mismos valores para todo número Real es que los Coeficientes de Potencias Semejantes sean Iguales.
Dadas las Raíces de un Polinomio encontrar el Polinomio
Si tenemos un Polinomio

y lo Factorizamos nos queda;





Ahora si se nos dan algunas Raíces de un Polinomio , y encontrar el Polinomio:
Solución: se procederá en como el ejemplo anterior pero en Reversa
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