LIMITE DE PRODUCTO

Límite del producto

H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c
T) limx->af(x).g(x) = b.c
Demostración:

Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε.

limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε1.

limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε2.

limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ3 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ3 |f(x)| < k.

ε ε
Sea ε1 = --- , ε2 = ---
2|c| 2k
ε ε
|f(x) - b| < --- => |c||f(x) - b| < --- (1)
2|c| 2
ε ε
|g(x) - c| < --- => k|g(x) - c| < --- (2)
2k 2
ε
|f(x)| < k => (de 2) |f(x)||g(x) - c| < --- (3)
2

Sea δ = min {δ1,δ2}

De 1) y 3): para todo x perteneciente al E*a,δ

|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε

|f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| <= (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε

(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|

=> |f(x)g(x) - bc| < ε

=> (por def. de límite) limx->af(x)g(x) = bc
Ejemplo

limx->2 x = 2
limx->2 ex = e2
limx->2 xex = 2e2
Teorema

H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = inf
T) limx->af(x)g(x) = inf

Nota: inf denota el infinito, positivo o negativo.

Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf

Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = -inf

Caso 3:
H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = -inf

Caso 4:
H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Demostración caso 1:

Quiero probar que para todo B > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x)g(x) > B.

limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ1 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) > k.

limx->ag(x) = +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ

* f(x) > k
* g(x) > A

=> f(x)g(x) > kA > B
Basta elegir A > B/k.

Los demás casos se demuestran en forma análoga.

Si b = 0 el limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es una INDETERMINACIóN de la forma 0.inf.