MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ).
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=−3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por y la restamos a la primera:
Repetimos la operación con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote a22=−4, multiplicamos la segunda ecuación por y la sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:
El método de Gauss consiste en convertir un sistema “normal” de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)
Ejemplo :
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = −256/−128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta y = 5- y + 9•2 = 13 y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que : x = −12x + 3•5 – 7•2 = −1 Por lo tanto la solución del sistema es (−1, 5, 2)
Clasificación de los sistemas :
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .
• Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :
Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .
• Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .
Por ejemplo :
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = −13 , x = 19
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.
Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales. Hay tres tipos de operaciones elementales:
I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.
II. Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero).
III. Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta y un múltiplo escalar de otra ecuación del S.E.L.