FUNCIONES POLINOMIALES MAYOR QUE DOS

FUNCIONES POLINOMIALES GRADO MAYOR QUE DOS
Introducción
Anteriormente estudiamos las siguientes funciones:
f(x) = b, función constante
f(x) = mx + b, función lineal
f(x) = ax2 + bx + c, donde a es diferente de cero, función cuadrática
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, donde a es diferente de cero, función cúbica
Definición: La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 , donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n ésimo grado. Los números
an, an-1, ..., a1,a0 se llaman los coeficientes de la función.
Nota: Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado. La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.
Definición: Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.
Ejemplo: Considera la función f(x) = x2 - 4 ilustrada gráficamente:p


Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f(2) = (2)2 - 4 = 0.Ley del coseno

Tanto si la dirección de iluminación es perpendicular a la superficie como si no, la iluminación recibida es:

Si la superficie fuera normal (S') a la intensidad sería :

y la relación entre S y S' es:

Sustituyendo en la primera expresión nos queda:

Para la componente vertical el razonamiento es análogo:

Si queremos expresar EH y EV en función de h solo hay que hacer el cambio:

y queda:


Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3 y x = 1 son las soluciones o raíces.

Nota: Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.
División Sintética
Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema. Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.
Ejemplos para discusión:

Ejercicio de práctica:

En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de la división sintética.
Teorema del residuo: Si R es el residuo después de dividir el polinomio P(x) entre
x - c, entonces P(c) = R.
Ejemplos para discusión:
1) Si P(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 6, halla P(3).
2) Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, halla P(-3).
Estos valores también se pueden obtener evaluando directamente en el polinomio.
Ejercicio de práctica: Si P(x) = 3x4 - 16x2 - 3x + 7, halla P(-2).
Teorema fundamental del álgebra
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
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El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.
Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo):
x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2)2(x + 2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.
En otras palabras, todo polinomio:

se puede factorizar completamente, así:
,
con los zi complejos, y .
Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de x2 + 1.
Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i y 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica por excelencia.
Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se factoriza la función P(x) por x − r, donde r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente:

que es un polinomio de grado menor al de P(x). Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).
Autor: M. Romero Schmidtke
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Polinomio
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemáticas un polinomio es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.
es un polinomio.
Debe mencionarse en particular que la división por una expresión que contiene una variable no es un polinomio sino una función racional.
Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las esplines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.


Definición
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces una polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

________________________________________
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.
A cada sumando ai xi del polinomio se le llama término. Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.
A las funciones polinómicas de
• grado 0 se les llama funciones constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado),
• grado 1 se les llama funciones lineales,
• grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
• grado 3 se les llama funciones cúbicas.
Factorización
Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliendose así que dividendo = divisor Χ cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Historia
La determinación de las raíces de los polinomios "resolver ecuaciones algebraicas", está entre los problemas más viejos de la matemática. Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz en los números reales. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas cerradas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta 4 grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado de que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de grado 5 o mayores en términos de sus coeficientes (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.
La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear grandes tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales automáticamente, evaluando aproximaciones polinomiales en muchos puntos usando el método de las diferencias de Newton.
Ley del coseno

Tanto si la dirección de iluminación es perpendicular a la superficie como si no, la iluminación recibida es:

Si la superficie fuera normal (S') a la intensidad sería :

y la relación entre S y S' es:

Sustituyendo en la primera expresión nos queda:

Para la componente vertical el razonamiento es análogo:

Si queremos expresar EH y EV en función de h solo hay que hacer el cambio:

y queda:El teorema del coseno es un teorema comúnmente utilizado en trigonometría. Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos: relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Sea un triángulo ABC, en el cual utilizamos las notaciones habituales expuestas en la figura 1: por una parte α, β y γ para los ángulos y, por otra parte, a, b y c para los lados respectivamente opuestos a estos ángulos. Entonces, el teorema del coseno se enuncia de la siguiente manera:

\,c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativemente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.