Operaciones con límites

Teorema
Límite de la suma
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos.

H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c
T) limx->af(x) + g(x) = b + c
Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.
Sea ε' = ε/2
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < ε'.
limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε'.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple:
• |f(x) - b| < ε'
• |g(x) - c| < ε'
=> |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε
|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*) |f(x) - b| + |g(x) - c| < ε
(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|
=> (por def. de límite) limx->af(x) + g(x) = b + c
Ejemplo:
limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6